ecuație diferențială liniară de ordinul doi, exemple, soluții

În acest articol considerăm principiile de bază ale găsirea soluțiilor generale de ecuații liniare omogene și neomogene diferențiale de ordinul al doilea, și să analizeze în detaliu câteva exemple de soluții.

ecuație liniară Omogen diferențială a doua este de forma și neuniforma, în care funcția f (x). p (x) și q (x) - sunt continue pe intervalul de X. integrare în cazul particular în care funcția p (x) = p și q (x) = q este constantă, găsirea unei soluții generale descrise în secțiunile omogene liniare ecuatiile diferentiale cu coeficienți constanți și neomogene ecuații diferențiale a doua ordine liniare cu coeficienți constanți.

În ceea ce se urmărește ca o soluție generală de ecuații diferențiale ordinare liniare și a doua LNDU? Formulăm două teoreme care răspund la această întrebare.

soluția generală Y0 a ecuației omogene diferențiale liniare pe intervalul X cu coeficienți continue pe X este o combinație liniară de n soluții particulare liniar independente liniare ecuațiilor diferențiale ordinare cu coeficienți constanți arbitrare, adică.

Soluția generală a ecuației y diferențiale liniare neomogene în intervalul X cu continuu la aceiași coeficienți de interval X și funcția f (x) este suma în care y0 - soluția generală corespunzătoare liniare ordinare ecuațiilor diferențiale și - orice sursă particulară soluție LNDU.

• y0 = C1 ⋅y1 + C2 ⋅y2 - soluția generală a ecuației diferențiale, unde Y1 și Y2 - soluțiile sale particulare liniar independente,
• și - soluția generală în care - oricare dintre soluțiile sale particulare și y0 - soluția generală a ecuațiilor diferențiale ordinare liniare corespunzătoare.

Rămâne să învețe cum să găsească y1. și y2.

În cazurile cele mai simple, sunt selectate aceste funcții.

funcții liniar independente Y1 și Y2 sunt printre seturi de cel mai frecvent

Independența liniară a funcțiilor y1 și y2 este verificată prin intermediul Wronskian. Dacă funcțiile sunt liniar independente în intervalul X. Wronski determinant diferit de zero pentru toate x în intervalul X.

De exemplu, funcțiile y1 = 1 și y2 = x sunt liniar independente pentru orice valoare x reală. din moment ce.

Funcția y1 = sinx și y2 = COSX, de asemenea, liniar independente pe R. Deoarece

Dar funcția y1 = - x - 1 și y2 = x + 1 sunt liniar dependente pe intervalul (-∞; + ∞). deoarece

În general, selectarea y1. y2 și dificil și nu întotdeauna posibil.

Dacă se va ridica un netriviale (nenul) y1 liniare Ecuatii diferentiale ordinare a doua comandă soluție parțială, este posibil să se găsească o soluție generală, scăderea gradului de ecuația la prima prin substituție.

Găsiți soluția generală a unei ecuații omogene liniare diferențiale de ordinul doi.

Este ușor de observat că y1 = x este o soluție particulară a ecuației diferențiale pentru x ≠ 0. Noi reducem gradul ecuației inițiale prin înlocuirea din.

Dacă vă amintiți regula pentru diferențierea unui produs și proprietățile integralei nedefinită.

.

Substituind aceste rezultate în ecuația inițială, ajungem la ecuația diferențială cu variabile multiple:

Integrarea ambelor părți, vom obține după potențarea soluția generală poate fi scrisă ca, în cazul în care C - este o constantă arbitrară.

Deoarece am presupus că soluția generală a ecuațiilor diferențiale liniare ordinare, începând de ordinul al doilea va fi în cazul în care funcția (x) F este una dintre primitivilor.

Primitive de F (x) nu poate fi exprimată în termeni de funcții elementare.

La rezolvarea ecuației diferențiale liniare neomogene de ordinul doi, dacă este în imposibilitatea de a găsi și y1 y2. nu se poate face cu selecția. soluția generală LNDU poate fi găsită prin metoda variatiei constantelor arbitrare.

În acest caz, Linear ordinară soluție generală Ecuații diferențiale este y0 = C1 ⋅ y1 + C2 ⋅ y2. Varierea constantele arbitrare, ca și soluții generale LNDU accepta y0 = C1 (x) ⋅ y1 + C2 (x) ⋅ y2. Derivatele funcțiilor necunoscute C1 (x) și C2 (x) sunt determinate de sistemul de ecuații, iar funcțiile C1 (x) și C2 (x) obținut în integrarea ulterioară.

Găsiți soluția generală a ecuației neomogene liniare diferențiale de ordinul doi.

Este ușor de observat că soluțiile liniar independente particulare ale ecuațiilor diferențiale ordinare liniare corespunzătoare și sunt, de exemplu. Varierea constantele arbitrare, și ca o soluție generală a ecuației diferențiale inițiale se va lua.

Constituie un sistem de ecuații

Pentru a rezolva problema folosim metoda Cramer:

Integrarea expresiilor rezultate pentru identificarea C1 (x) și C2 (x):

Astfel, soluția generală a ecuației inițiale liniare diferențiale neomogene de ordinul a doua are forma.

• Soluția generală a doua ordine liniare ecuațiilor diferențiale ordinare a căutat ca y0 = C1 ⋅y1 + C2 ⋅y2. în cazul în care Y1 și Y2 - soluțiile sale liniar independente particulare. soluții private și y1 y2 sunt selectate (sistem de obicei cunoscut de funcții liniar independente). y1 și y2 de a alege nu este întotdeauna posibil, prin urmare, să găsească o soluție generală a ecuației diferențiale nu este întotdeauna posibil. Dacă o singură soluție special y1 găsită, ordinea ecuației poate fi redusă la prima de schimbare. Decide ecuația rezultată, o soluție generală este sursa celei de a doua ecuatii liniare ordine diferentiale ordinare.
• General soluție LNDU al doilea ordin căutat în forma în care - orice soluții parțiale ale acesteia, și y0 - soluția generală ecuații liniare diferențiale ordinare corespunzătoare. Astfel, primul este y0 - soluția generală a ecuației diferențiale (dacă este posibil), apoi selectată (dacă este disponibilă). Sau mai întâi selectat Y1 și Y2 (după cum doriți), și soluție generală LNDU este determinată de variația de constante arbitrare.

• Èl'sgol'ts LE ecuații diferențiale și calculul variațiilor.