inegalitățile liniare, rezolvarea inegalităților liniare
După ce a primit informații inițiale privind inegalitățile cu variabile. vă puteți deplasa în condiții de siguranță cu privire la problema rezolvării inegalităților. Primul în acest fel există inegalități liniare într-o singură variabilă. În acest articol, vom analiza în detaliu ce fel acestea sunt, ce metode există pentru rezolvarea inegalităților liniare, da algoritmi corespunzătoare și ia în considerare în exemple și explicații specifice de detaliu.
Doar rețineți că aici vom vorbi doar despre inegalitățile liniare într-o singură variabilă și inegalitățile liniare în două variabile alocă un articol separat.
Navigare în pagină.
Ce este o inegalitate?
Pentru a determina începutul, desigur, că același lucru este o inegalitate liniară cu o singură variabilă. Cu alte cuvinte, trebuie să învețe cum să lineara inegalitățile apar într-un mod general, că acestea pot fi distinse de alte tipuri de inegalități.
Manualul Mordkovich AG pentru 9 clase oferă următoarea definiție:
Inegalitatea liniara cu una x variabile sunt numite formă inegalitate a · x + b> 0. în cazul în care, în locul semnului> poate fi în mod natural orice alt semn de (<, ≤, ≥), а a и b – действительные числа. причем a≠0.
Inegalitatea forma A · x
Deci, principala diferență dintre cele două definiții constă în două puncte:
- sub formă de înregistrare (a · x + b> 0 la început, și · x> c - în al doilea);
- și un factor permisivitate egal cu zero (a ≠ 0 - o primă și o poate fi egală cu zero, - în al doilea).
Primul punct nu este esențială în sensul că inegalitatea · x + A b> 0, și · x> c sunt inegalități echivalente. deoarece un termen de la un alt transfer se poate face dintr-o parte în alta, cu semn opus. Cu toate acestea, vom da preferință la prima înregistrare, așa cum am făcut în a vorbi despre ecuații liniare. În ceea ce privește coeficientul variabilei, în practică, este întâlnită, de exemplu, prin inegalitatea 0 · x + 5> 0. și într-un fel va trebui să abordeze, deci nu vom respinge cazul în care o = 0.
Pentru a rezuma argumentele noastre: că noi, în viitor, nu a existat nici un dezacord, să ne sunt de acord să-și asume inegalitățile liniare în una x inegalitățile variabile de forma a · x + b<0. a·x+b>0. · x + b≤0 și · x + b≥0. în care a și b pot fi orice numere reale. Se înțelege că variabila poate fi definită nu numai de litera x. dar orice altă literă.
Conform acordului nostru, inegalitatea 4 · x-1> 0. 0 · z + 2,3≤0. - exemple de inegalități liniare. Și aici inegalitatea 5 · x> 7. -0,5 · y≤-1,2, etc. Vom numi inegalitățile care pot fi reduse la liniar. Aici observăm că o mulțime de alte inegalități pot fi reduse la inegalități liniare, despre ele încă mai spune în ultimul paragraf al acestui articol.
Cum de a rezolva o inegalitate?
Acum este posibil să se înțeleagă, cum să rezolve inegalitățile liniare o · x + b<0 (они могут быть записаны и с помощью любого другого знака неравенства).
Principala cale de a le rezolva este de a utiliza transformările echivalente care permit să vină la un ≠ 0 la inegalitățile de bază forma x
, ≥), p - unele numere care sunt soluția dorită, și atunci când a = 0 - pentru a forma un inegalități numerice
, ≥), din care încheierea discrepanței inițiale de decizie. Noi l analizăm în primul rând.
De asemenea, nu strica sa se uite la soluția de inegalități liniare într-o singură variabilă, și de la alte poziții. Prin urmare, vom arăta cum să rezolve inegalitățile liniare grafic și metoda intervalelor.
Utilizarea de conversie in suma
Să presupunem că avem nevoie pentru a rezolva o inegalitate liniară · x + b<0 (≤,>, ≥). Vom arăta cum să facă acest lucru, folosind conversia în valoare de inegalitate.
Abordări ale acestui diferă în funcție de egalitate sau inegalitate la zero un raport al variabilei x. Să-i considerăm, la rândul său. Mai mult decât atât, atunci când se analizează sistemul trebuie să adere la trei puncte: în primul rând, vom da esența procesului, apoi - un algoritm de rezolvare a inegalităților liniare, în cele din urmă, să conducă soluții exemple specifice.
Să începem cu un algoritm pentru rezolvarea inegalităților liniare a · x + b<0 (≤,>, ≥) cu un ≠ 0.
- În primul rând, numărul b este transferat în partea dreaptă cu semnul opus. Acest lucru vă permite să mergeți la inegalitatea echivalentul · x<−b (≤,>, ≥).
- În al doilea rând, divizia este realizată din ambele părți ale acestei inegalități de un număr de nenul. Astfel, în cazul în care un - un număr pozitiv, atunci semnul inegalității este încă prezentă, și în cazul în care un - un număr negativ, semnul inegalității este inversată. Rezultatul este o inegalitate elementară echivalentă cu inegalitatea liniară inițială, acesta este răspunsul.
Rămâne de a face cu exemple algoritm sonore. Luați în considerare modul rezolvate cu ajutorul unor inegalități liniare atunci când un ≠ 0.
Rezolvarea inegalității 3 · x + 12≤0.
Pentru o inegalitate liniară dată avem = 3 și b = 12. Evident, un coeficient al variabilei X nu este de zero. Noi folosim algoritmul de mai sus soluție adecvată.
În primul rând, termenul este de a lua acum 12 de pe partea dreaptă, nu uitați să schimbați semnul său, adică, partea dreapta va fi -12. Aceasta conduce la inegalitatea este echivalent 3 · x≤-12.
Și, în al doilea rând, vom împărți ambele părți ale inegalității obținute prin 3 din 3 - un număr pozitiv, atunci nu schimbă semnul inegalității. Avem (3 · x) # 58; 3≤ (-12) # 58; 3. care este același x≤-4.
A primit inegalitate elementară x≤-4 este echivalentă cu inegalitățile liniare originale și este de dorit soluție.
Astfel, soluția unei inegalități liniare 3 · x + 12≤0 este orice număr real mai mic sau egal cu minus patru. Răspunsul poate fi scris sub forma unui interval numeric. inegalitate x≤-4 corespunzătoare. adică, așa cum (-∞, -4].
Dobândirea de calificare în lucrul cu inegalități liniare și soluțiile lor pot fi înregistrate fără o scurtă explicație. În această primă înregistrare inegalitatea liniară inițială și sub - aceasta valoare inegalitate, soluțiile rezultate din fiecare etapă:
3 · x + 12≤0;
3 · x≤-12;
x≤-4.
x≤-4 sau (-∞, -4].
Lista toate soluțiile de inegalități -2,7 liniare · z> 0.
Aici, un coeficient de variabila z este egală cu -2.7. Un coeficient b nu este explicit, adică este egal cu zero. Prin urmare, primul pas al algoritmului de rezolvare a inegalităților liniare într-o singură variabilă este inutilă, deoarece transferul de la zero de pe partea stângă la dreapta nu se schimba simt de inegalitatea inițială.
Rămâne să împartă ambele părți ale inegalității de -2.7. nu uitați să schimbați semnul inegalității este inversată, deoarece -2.7 - număr negativ. Avem (-2,7 · z) # 58; (- 2,7)<0:(−2,7). и дальше z<0.
Acum, pe scurt:
-2,7 · z> 0;
z<0.
z<0 или (−∞, 0).
Avem nevoie pentru a rezolva o inegalitate liniară este un factor cu o variabilă x. egală cu -5. și cu coeficientul b. ceea ce corespunde unei fracții -15/22. Acționând pe modelul bine-cunoscut: -15/22 mai întâi transferat în partea dreaptă cu semnul opus, apoi efectuați diviziune pe ambele părți ale inegalității -5 număr negativ. schimbarea semnul inegalității:
Ultimul pas în partea dreaptă a regulii este utilizat cu diferite numere de mărci divizare, iar apoi diviziunea este realizată pe un număr întreg de fracție comună.
Acum ne întoarcem la cazul în care o = 0. Principiul soluției unei inegalitate liniară · x + b<0 (знак, естественно, может быть и другим) при a=0. то есть, неравенства 0·x+b<0. заключается в рассмотрении числового неравенства b<0 и выяснении, верное оно или нет.
Ce este asta în funcție? Foarte simplu: anumite decizii inegalitate. Cum? Da, asta: indiferent de valoarea lui x, nu sunt încadrate în inegalitatea liniară inițială, obținem inegalitatea numerică de forma b<0 (так как при подстановке любого значения t вместо переменной x мы имеем 0·t+b<0. откуда b<0 ). Если оно верное, то это означает, что любое число является решением исходного неравенства. Если же числовое неравенство b<0 оказывается неверным, то это говорит о том, что исходное линейное неравенство не имеет решений, так как не существует ни одного значения переменной, которое обращало бы его в верное числовое равенство.
Formulăm aceste argumente sub forma unui algoritm de rezolvare a inegalităților liniare 0 · x + b<0 (≤,>, ≥).
- Considerăm numerică inegalității b<0 (≤,>, ≥) și
- dacă este adevărat, atunci soluția inegalității inițiale este orice număr întreg;
- dacă este greșit, atunci inegalitatea liniară inițială nu are soluții.
Acum, să se ocupe de aceste exemple.
Rezolva inegalitatea 0 · x + 7> 0.