Intervale de creștere și de reducere caracteristicile online

Reguli de funcții de intrare.

1. Toate operațiunile matematice exprimate în termeni de simboluri convenționale (+, -, *, /, ^). De exemplu, x 2 + x, scris ca x ^ 2 + x.
2. rădăcină pătrată: sqrt. De exemplu, sqrt (x ^ 2 + 1/2). arcsin (x) = asin (x). e x = exp (x). numărul π = pi.

teste ale funcției utilizând derivatul

Definiția. punctul X0 este numit un maxim local, în cazul în care are loc inegalitatea pentru toate x, în vecinătatea X0: f (x0)> f (x).

Definiția. Un X0 punct este numit un punct de minim local, în cazul în care, pentru orice x, în vecinătatea inegalității X0: f (X0) punctul minim și funcția maximă numite puncte extremale ale funcției. și valorile funcției de la aceste puncte extreme - de funcții.
puncte extremale poate servi doar ca un punct critic de tip I, și anume, puncte aparținând domeniului funcției, în care derivatul f „(x) este zero sau discontinuitate.

Regula de constatare a extremelor a funcției y = f (x), folosind primul derivat

1. Găsiți funcția derivat f „(x).
2. Găsiți punctele critice ale primului derivat, și anume, punctul în care derivatul devine zero sau discontinuitate.
3. Pentru a investiga semnul primei derivate din lacunele, ceea ce duce la punctele critice împart domeniul funcției f (x). Dacă intervalul f „(x) <0, то на этом промежутке функция убывает; если на промежутке f ’(x)> 0, atunci această funcție mărește intervalul.
4. În cazul în vecinătatea punctului critic al f „(x) se schimbă de la semnul«+»la«-», acest punct este punctul maxim, în cazul în care un«-»la«+», punctul de minim.
5. Calculati valorile funcției la minimele și maximele.

Cu ajutorul algoritmului poate fi găsit nu doar extremele de funcții, dar, de asemenea, perioadele de creștere și scădere a funcției.

Exemplul №1. Găsiți intervale de monotonie și extreme ale funcției: f (x) = x 3 - 3x 2.
Soluție: găsiți prima derivată a funcției f „(x) = 3x 2 - 6x.
Punctele critice ale primei derivate prin rezolvarea ecuației 3x 2 - 6x = 0; 3x (x-2) = 0; x = 0, x = 2

Noi investigăm comportamentul primului derivat al punctelor critice și intervalele dintre ele.

f (0) = 0 3 - 0 3 * 2 0 =
f (2) = 2 cu 3 - 2 cu 3 * 2 = -4
A: Funcția crește cu x∈ (-∞; 0) ∪ (2; + ∞); Funcția scade când x∈ (0, 2);
punctul minim (2, 4); Funcția punctului maxim (0; 0).

Regula de constatare a extremelor a funcției y = f (x), prin intermediul a doua derivata

1. Găsiți f derivat „(x).
2. Găsiți punctele de staționare a funcției, și anume, punctele unde f „(x) = 0.
3. Găsiți un derivat al doilea f '' (x).
4. Pentru a investiga semnul derivatei a doua în fiecare dintre punctele de staționare. Dacă derivata a doua este negativ, atunci funcția într-un punct este un maxim, iar dacă este pozitiv, apoi - cel puțin. Dacă derivata a doua este zero, extremum funcției trebuie căutată prin intermediul primei derivate.
5. Calculati valorile funcției la extremelor.

Rezultă că funcția de două ori diferențiabilă f (x) este convexă pe intervalul [a, b], în cazul în care un derivat al doilea f „(x) ≥ 0 pentru toate x [a, b].

Toate calculele se pot face online.

Exemplul №2. Pentru a investiga extremum de derivata a doua a funcției: f (x) = x 2 - 2x - 3.
Soluție: Găsiți derivatul: f „(x) = 2x - 2.
Rezolvarea ecuației f „(x) = 0, obținem punctul staționar x = 1. Vom găsi acum derivata a doua: f '' (x) = 2.
Deoarece derivata a doua este pozitiv la un punct staționar, f '' (1) = 2> 0, atunci când x = 1, funcția are un minim: fmin = f (1) = -4.
A: Punctul minim are coordonatele (1, 4).