Linear rând eterogen de ordinul doi

Metoda coeficienților nedeterminați

Dacă partea dreaptă a ecuației diferențiale neomogene (1) este un polinom, funcția exponențială sau trigonometric (sau o combinație a acestor funcții):

apoi soluția este mai convenabil să caute folosind metoda coeficienților nedeterminați.

În ambele cazuri, sub forma soluției particular corespunde structurii partea dreaptă a ecuației diferențiale inițiale neomogenă.

1) Dacă partea dreaptă a ecuației (1) are forma (7), atunci soluția găsită special sub forma:

în care - un polinom de gradul n cu coeficienți necunoscuți și s = 0 atunci când nu este rădăcina polinomului caracteristic, sau o multitudine de s, unde - rădăcina polinomului caracteristic.

2) Dacă partea dreaptă a ecuației (1) are forma (8), o soluție specială va fi solicitată după cum urmează:

Aici - polinoame de gradul k cu coeficienți nedeterminați și s = 0 (nu este o rădăcină a polinomului caracteristic) sau multiplicitate s - rădăcina polinomului caracteristic.

Coeficienții polinomiali necunoscute sunt determinate prin substituirea expresiile particulare soluții pentru începerea ecuației diferențiale neomogene (1).

(Principiul superpoziției). Dacă ecuația diferențială neomogenă partea dreapta a doua comandă (1) este egală cu suma mai multor funcții ale formei (7), (8), atunci soluția particulară a acestei ecuații va fi suma soluțiilor parțiale construite separat pentru fiecare termen din partea dreaptă.

Găsiți soluția generală a ecuației

Să considerăm ecuația omogenă:

Ecuația caracteristică corespunzătoare

Ne găsim soluția sa:

Aceasta este soluția ecuației omogene

O soluție particulară a ecuației neomogena original va fi căutat pe tipul de partea dreaptă. Rescrie această funcție după cum urmează:

Aceasta este, în partea dreaptă a ecuației neomogene are forma (8). Apoi, o soluție anume, în conformitate cu (10), găsită în forma:

Pentru a găsi coeficienți necunoscuți D și substituind soluția specială a ecuației inițiale. Pentru aceasta vom găsi primul și al doilea derivații de ea:

Înlocuim expresiile obținute în ecuația diferențială inițială. Ca urmare a simplificării avem:

Se taie partea din stânga și în dreapta ultima egalitate cu:

Astfel, soluția generală a ecuației neomogene inițiale

În primul rând, vom găsi soluția ecuației omogene corespunzătoare. caracteristica lui

Partea dreaptă a ecuației neomogene inițiale reprezintă suma a două funcții. Apoi, în conformitate cu principiul superpoziției, o soluție particulară a ecuației date este egală cu suma soluțiilor speciale corespunzătoare fiecăruia dintre aceste funcții:

Prima soluție parțială

Substituind-l în ecuația originală, pentru a găsi derivați de prima și a doua ordine:

Apoi, ecuația devine:

Pentru a găsi coeficienții necunoscuți pe care le folosim faptul că cele două polinoame sunt egale în cazul în care coeficienții egale ale puterilor corespunzătoare. Rezultatul este un sistem:

întâlnește o anumită soluție cu următoarea structură:

Membru supleant în ecuația originală:

Astfel, soluția de pornire a ecuației diferențiale neomogene