A doua ecuații diferențiale de ordinul cu coeficienți constanți
Acasă | Despre noi | feedback-ul
ecuație diferențială de ordinul doi cu coeficienți constanți de forma:
în cazul în care există un zero în partea dreaptă a ecuației,
atunci ecuația se numește liniară omogenă.
Pentru a rezolva această ecuație este făcută ecuația caracteristică. Caracteristica se numește ecuația pătratică obținută prin ecuația diferențială, în care înlocuiește noua k variabilă, al cărei grad este determinată de ordinea derivatului:
;
Apoi - ecuația caracteristică.
Noi găsim rădăcinile ecuației caracteristice:
1. Dacă rădăcinile caracteristice de ecuații sunt reale și egale. și anume deskremenant D = 0, soluția ecuației diferențiale va fi o funcție de:
2. În cazul în care rădăcinile ecuației caracteristice sunt numere reale și egale. D> 0. atunci:
3. Dacă rădăcinile ecuației caracteristice - numere complexe cu D<0, т.е. . то
De exemplu: Găsiți o soluție generală a ecuației diferențiale:
Noi alcătuiesc ecuația caracteristică:
;
Ne găsim rădăcinile sale:
;
Substitut valoarea k obținută = 1, ecuația (1), obținem:
.
Valorile obținute # 945; și # 946; substitut în ecuația (3), obținem:
5. A doua ecuațiile diferențiale de ordinul care admit Ordiul coborâre
Să presupunem că avem o ecuație diferențială este rezolvată în ceea ce privește al doilea derivat:
,
Luați în considerare tipurile de doua ecuații diferențiale de ordinul, care permit reducerea ordinului:
ecuații diferențiale I. nu conțin argumentul:
(*)
substituie acest lucru în (*), obținem:
.
Am primit prima ecuație diferențială și soluția sa va cuprinde: sau
variabile partajate, multiplicând ambele părți prin:
.
Prezentați substituție: (1)
Din ecuația (1) obținem: (2)
Substituind valorile din ecuațiile (1) și (3) la o ecuație predeterminată și se obține:
.
A primit ecuație de ordinul întâi. Rezolvarea metodei variabilelor de separare R și y. Ecuația este rezolvată în ceea ce privește P.
.
Reducerea ambelor părți de P
.
Se împarte variabilele, înmulțind ambele părți pentru a obține:
.
Integrarea celor două părți:
Substitut valoarea obținută din ecuația P (4) în ecuația (1), obținem:
Recâștigat ecuație diferențială în variabilele y și x.
Se împarte variabilele, înmulțind ambele părți de. obținem:
.
Obținem soluția generală a ecuației diferențiale:
II. ecuații diferențiale nu conțin funcția necesară:
(**)
Apoi, ecuația (**) va fi:
.
Soluția acestei ecuații este o funcție de:
Prezentați substituție: (1)
Substituind valorile din ecuațiile (1) și (2) în ecuația inițială, și va obține:
.
Se împarte variabilele, înmulțind ambele părți pentru a obține:
.
Integrarea doua parte a ecuației:
Înlocuim valoarea F din ecuația (3) în ecuația (1) și se obține:
.
Se împarte variabilele, înmulțind ambele părți de. și să integreze:
III. Ecuațiile diferențiale care nu conține funcția necunoscută și derivatul său:
(***)
Schimbare: substitut în (***)
De exemplu: Găsiți o soluție generală a ecuației diferențiale:
Prezentați substituție: (1)
Substituind valorile ecuației (2) în ecuația originală:
.
Se împarte variabilele, înmulțind ambele părți de obținem:
.
Rezolvarea ecuației obținute prin integrarea a două părți:
Substitut valoarea F din ecuația (3) în ecuația (1), obținem:
.
Se împarte variabilele, înmulțind ambele părți de. și să integreze:
.
Notă. Rezolvarea integralei prin integrarea de părți: