ecuații diferențiale de ordinul al doilea, referatelor libere, eseuri și dizertații

unde - variabilă independentă - funcția dorită, mai întâi și derivați ai doua.

Teorema lui Cauchy privind existența și unicitatea soluțiilor ecuației diferențiale de ordinul doi. Fie funcția și derivații săi parțiale sunt continue în unele regiuni de variabile spațiale. Apoi, pentru orice punct interior al regiunii există o soluție unică care îndeplinește condițiile.

Condițiile sunt numite condiții inițiale. și sarcina de a găsi o soluție a ecuației pe platourile de filmare ...
condițiile inițiale se numește problema Cauchy.

Exemplu. Găsiți o soluție la problema Cauchy.

Soluție: Să ne găsim soluția generală:

Noi folosim condițiile inițiale și de a găsi o soluție special:

Raspuns: - Solutia problemei Cauchy.

Tipurile de ecuații diferențiale de ordinul al doilea:

1. Ecuația care permite reducerea comenzii. Există trei tipuri:

A). Pentru soluțiile folosite înlocuire :. atunci. a.

B). În acest caz, schimbarea are forma :. atunci. a.

B). Înlocuire :. Apoi. iar soluția generală poate fi scrisă ca :.

Exemplu. Găsiți o soluție pentru ecuația.

Soluție: în acest caz. De aceea, folosim substituție și de a obține o ecuație cu variabile separabile

Efectuați schimbarea inversă:

2. O ecuație a doua ordine liniară diferențială - ecuația formei :. în care - funcția dorită, - cunoscută funcție continuă la intervalul. În cazul în care. ecuația se numește ecuație diferențială omogenă liniară. În cazul în care. ecuația diferențială liniară neomogenă.

A) Să considerăm o ecuație omogenă liniară diferențială de ordinul doi cu coeficienți constanți. . în cazul în care - numerele reale.

ecuație liniară de ordinul diferențială are două soluții de bază, pentru care este construit soluția generală. Soluțiile și ecuațiile sunt numite liniar independente. în cazul în care combinația lor liniară este egală cu zero. numai atunci când.

Teorema. Lăsați soluțiile și ecuațiile sunt independente liniar pe intervalul. Apoi, funcția. și în care - constantele arbitrare, soluția generală a ecuației omogene.

Soluția ecuației va fi solicitată în formă. în cazul în care - unele număr. Am pus această funcție în ecuație și de a lua. Vom împărți ambele părți și va avea de - ecuația se numește ecuația caracteristică a ecuației diferențiale.

Soluția generală depinde de ce rădăcini și are o ecuație caracteristică.

Teorema. Dacă rădăcinile ecuației caracteristice:

· Real și diferite, și anume, . apoi soluția generală a ecuației diferențiale omogene este.

· Reale și egale între ele, adică, . apoi soluția generală a ecuației diferențiale omogene este.

· Complex. în cazul în care. și și - numere reale, atunci soluția generală a ecuației diferențiale omogene este. în cazul în care.

În toate cele trei cazuri - constante arbitrare.

Exemplu. Găsiți o soluție comună: a); b); c).

a) Ecuația caracteristică are forma :. Ea are două rădăcini reale distincte. Prin urmare.

b) Caracteristica ecuația :. Ea are două rădăcini reale, egale între ele. apoi soluția generală este.

c) Caracteristica ecuația :. În acest caz, avem rădăcini complexe. Prin urmare.

B) a doua comandă ecuația neomogenă - este un fel de ecuație.

Soluția generală a ecuației neomogene diferențiale de ordinul doi este suma soluției generale a ecuației diferențiale omogene corespunzătoare și o soluție particulară a ecuației diferențiale neomogene. și anume .

Vezi o anumită soluție depinde de funcția și ecuația caracteristică:

· În cazul în care. în cazul în care - polinom de grad. Apoi. în cazul în care - polinom de gradul într-un mod general, și

· În cazul în care. în cazul în care - având în vedere numere reale. Apoi. în cazul în care - numere necunoscute, de asemenea.

Exemplu. Găsiți o soluție pentru ecuația.

Soluție: Vom găsi soluția generală a ecuației omogene corespunzătoare. care va lua forma :.

Noi căutăm o soluție particulară a formei. atunci. . Membru supleant în ecuația originală:

În consecință ,. și soluția generală.

Exemplu. Găsiți o soluție la problema Cauchy:

Soluție: Vom găsi soluția generală a ecuației omogene corespunzătoare. care va lua forma :.

Noi căutăm o soluție particulară a formei. atunci. . Substitut în ecuația originală :. și anume .

Soluția generală a ecuației obținute în forma :.

Găsim valoare constantă cu condițiile inițiale specificate: